长春市普通高中届高三质量监测三文科数学试题及答案 2021

标题：长春市2021届高三质量监测三文科数学试题及答案

【解析】

1. 已知函数，求过点作曲线的切线方程。

解：设切点为$P(x_0,y_0)$，则切线的斜率为$k=\\frac{y_0-y}{x_0-x}$。又因为切线过点$(x,y)$，所以有$\\frac{y-y_0}{x-x_0}=\\frac{y_0-y}{x_0-x}$，化简得$y=k(x-x_0)+y_0$。将点$(x,y)$代入上式，得到$y=k(x-x_0)+y_0$，即$y=kx+y_0$。因此，过点作曲线的切线方程为$y=kx+y_0$。

2. 若曲线与直线只有一个交点，求实数的取值范围。

解：设曲线为$y=f(x)$，直线为$y=kx+b$。由题意知，曲线与直线只有一个交点，即方程组$\\begin{cases}y=f(x)\\\\ y=kx+b\\end{cases}$只有一组解。由于直线与曲线只有一个交点，所以有$f(x)=kx+b$。将$y=kx+b$代入$y=f(x)$，得到$kx+b=f(x)$。由于直线与曲线只有一个交点，所以有$kx+b=f(x)$。因此，实数的取值范围为$k\

eq 0$且$b=-f(x)$。

3. 椭圆的标准方程。

解：已知椭圆方程为$\\frac{x^2}{a^2}+\\frac{y^2}{b^2}=1$。根据题意，我们有$a^2=b^2$，所以椭圆的标准方程为$\\frac{x^2}{b^2}+\\frac{y^2}{b^2}=1$。

4. 过点$(x_0,y_0)$的直线与椭圆交于两点，直线、分别与直线交于点、。以$O$为直径的圆是否恒过定点？

解：设直线为$y=kx+m$，则直线与椭圆的交点分别为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$。由于直线与椭圆有两个交点，所以有$\\frac{x_1^2}{b^2}+\\frac{y_1^2}{b^2}\

eq \\frac{x_2^2}{b^2}+\\frac{y_2^2}{b^2}$。整理得$\\frac{(x_1-x_2)^2}{b^2}+\\frac{(y_1-y_2)^2}{b^2}=1$。因此，以$O$为直径的圆恒过定点$(0,0)$。

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长春市2021届高三文科数学质量监测试题及答案

在长春市，2021届的高三学生经历了一场重要的数学质量监测。这份试题不仅检验了学生们对数学知识的掌握程度，也展示了他们的思维能力和解决问题的技巧。以下是本次质量监测的详细内容和解答。

### 一、题目概述

1. **函数与导数**本题要求学生根据给定的函数表达式，求出相应的导数方程。这不仅是对学生对导数概念理解的测试，也是对他们应用导数解决实际问题能力的检验。

2. **几何问题**此部分涉及椭圆的标准方程求解以及直线与椭圆的交点问题。这类问题考察学生的空间想象能力和代数运算能力，是数学学习中常见的题型。

3. **圆的性质**通过一个以直径为边的圆是否恒过定点的问题，考查学生对圆的基本性质的理解和运用。

### 二、解题过程

1. **函数求导**首先，根据函数表达式，利用导数的定义进行计算。例如，如果函数为 $f(x) = x^2$，则其导数为 $f'(x) = 2x$。

2. **几何问题的解析**对于椭圆的求解，需要先确定椭圆的标准方程，然后根据题目中的条件，如直线与椭圆的交点等，进行联立方程组的求解。

3. **圆的性质的应用**最后，通过验证圆心到定点的距离是否等于半径，来判断该圆是否恒过定点。

### 三、结论

通过对这些题目的解答，不仅能够加深学生对数学知识的理解和应用，还能够提高他们的逻辑思维和问题解决能力。希望同学们能够通过这次质量监测，发现自己在学习中的不足之处，并在今后的学习中加以改进和提高。