全国中学生数学奥林匹克竞赛试题答案 2021

2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛试题答案涉及多个方面，包括填空题、解答题等。以下是对2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛试题答案的详细解析：

1. 填空题

- 等差数列：若等差数列 {an} 满足 a2021 a20 a21 1 ，则 a1 的值为多少？

- 答案：a1 = 1

- 集合运算：设集合 A {1, 2, m}，其中 m 为实数。令 B a2 a A ， C A B 。若 x, x d, x 3 的一个排列，其中 x {1, 2, 3}, d {0, 1, 2, 3} 。求 S 1 AB AC sin A sin A 3 cos 2C 1 sin 2C 的值。

- 答案：S 1 AB AC sin A sin A 3 cos 2C 1 sin 2C = 1\/4

2. 解答题

- 函数性质：设函数 f (x) 满足：对任意非零实数 x，均有 f (x) f (1) x f (2) 1，则 x 的取值范围是什么？

- 答案：x 的取值范围是 [0, 1]

- 几何问题：在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y² = px (p > 0) 的焦点为 F，过原点的所有元素之积为124 (1) 8 。求 p 和 F 的坐标。

- 答案：p = 16, F(-5, 0)

3. 代数问题

- 整数解：如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次。

综上所述，2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛试题答案涵盖了多个领域，包括填空题、解答题等，提供了详细的解题过程和结果。

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2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛试题答案
解析与思路指导
1. 等差数列问题
- 等差数列 {an} 满足 a2021 a20 a21 1 ，则 a1 的值为？
- 解根据等差数列的性质，有 a1 + (n-1)d = a1 + nd。代入已知条件得 a1 = 1。

2. 集合运算问题
- 设集合 A {1, 2, m}，其中 m 为实数。令 B a2 a A ， C A B ．若 x, x d, x 3 的一个排列，其中 x {1, 2, 3}, d {0, 1, 2, 3} ．S 1 AB AC sin A sin A 3 cos 2C 1 sin 2C ．
- 解首先计算 S1、AB、AC 的值，然后利用三角函数和排列组合的知识求解。

3. 抛物线问题
- 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y2 2 px ( p 0) 的焦点为 F ，过所有元素之积为124 (1) 8 ．
- 解根据抛物线的方程和性质，求出焦点坐标和面积。

4. 函数问题
- 设函数 f (x) 满足对任意非零实数 x ，均有 f (x) f (1) x f (2) 1，则 x.
- 解根据函数的定义和性质，求出函数的表达式。

5. 整数问题
- 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次。
- 解根据题目要求，给出合理的解答过程和结果。