全国高中数学联赛山东省预赛试题答案 2023

2023年全国高中数学联赛山东省预赛试题答案涉及多个数学知识点，包括几何、代数和三角函数等。以下是对部分题目的解析：

1. 几何题：

- 题目要求证明P, Q, R三点共圆。通过计算三个点之间的距离并比较它们与两定点的距离，可以得出P, Q, R三点确实共圆。

2. 代数题：

- 题目要求在区间(22n, 23n)中任取22n个奇数，求证其中必有两个数的平方不能被另一个数整除。通过分析奇数的性质和组合方式，可以证明存在两个奇数a和b，使得ab=a²+b²，从而a²不能被b整除。

3. 三角函数题：

- 题目要求已知a, b, c为正实数，且满足a² + b² = c²，求证c²\/a² + c²\/b² = c²\/(a² + b²)。通过利用三角恒等变换和基本不等式，可以证明该命题成立。

4. 概率题：

- 题目要求小张参加一次十道选择题的测试，做对一道得一分，做错一道扣一分，不做得零分。他的目标是至少得7分，7分及格。通过计算小张前六道题的答案正确的概率以及剩余题目的正确概率，可以推断出小张应该做多少道题，以使及格的概率最大。

综上所述，2023年全国高中数学联赛山东省预赛试题涵盖了多种数学知识点，需要考生具备扎实的数学基础和良好的解题技巧。

答案如下，仅供参考！

2023年全国高中数学联赛山东省预赛试题答案

1. 四点共圆证明题

在区间 (22n, 23n) 中任取 22n+1 个奇数。求证在所取出的数中，必有两个数，其中一个数的平方不能被另一个数整除。

答案设两个数分别为 a 和 b，则 a^2 = (22n + 1) * n + 1 和 b^2 = (22n + 1) * n + 1。由于 a 和 b 是奇数，且 a^2 和 b^2 都是偶数，所以 a^2 和 b^2 不可能同时为偶数。因此，a 和 b 中必有一个是奇数，另一个是偶数。