全国中学生数学奥林匹克贵州赛区预赛试题答案 2023

2023年全国中学生数学奥林匹克贵州赛区预赛试题答案涉及多个数学领域，包括集合运算、三角函数、向量运算等。以下是对部分题目的解析：

1. 集合运算：

- 题目要求求出集合C的子集个数。根据集合A和B的定义，可以发现集合C是这两个集合的交集，即$C = A \\cap B$。由于集合A和B的元素都是有序数对$(x, y)$，且满足特定的条件，因此集合C的元素个数为2。

2. 三角函数：

- 题目涉及到虚数的概念及其运算。已知虚数z满足$z^2 = z$，则可以通过代数变换求解$z^3$的值。通过解方程$z^3 - z = 0$，得到$z^3 = z$，即$z^3 = 1$。因此，$z^3 = z^2 + z = 1 + z$。由于$z^2 = z$，所以$z^3 = z + z = 2z$。最终得到$z^3 = 2z$。由于$z$是虚数，其模长为1，所以$|z^3| = |2z| = 2|z|$。由于$z$的模长为1，所以$|z^3| = 2$。因此，$z^3 = 2z$。

3. 向量运算：

- 题目要求计算向量$\\overrightarrow{a} + \\overrightarrow{b}$与向量$\\overrightarrow{c} = 2\\overrightarrow{a} - \\overrightarrow{b}$的点积。根据向量加法和减法的运算法则，有$\\overrightarrow{a} + \\overrightarrow{b} = \\overrightarrow{a} + (\\overrightarrow{a} - \\overrightarrow{b}) = 2\\overrightarrow{a} - \\overrightarrow{b}$。因此，$\\overrightarrow{a} + \\overrightarrow{b}$与$\\overrightarrow{c}$的点积为$(\\overrightarrow{a} + \\overrightarrow{b}) \\cdot \\overrightarrow{c} = (2\\overrightarrow{a} - \\overrightarrow{b}) \\cdot (2\\overrightarrow{a} - \\overrightarrow{b}) = 4\\overrightarrow{a}^2 - 3\\overrightarrow{a}\\cdot\\overrightarrow{b} + \\overrightarrow{b}^2 = 4\\overrightarrow{a}^2 - 3(2\\overrightarrow{a}\\cdot\\overrightarrow{b} - \\overrightarrow{b}^2) + \\overrightarrow{b}^2 = 4\\overrightarrow{a}^2 - 6\\overrightarrow{a}\\cdot\\overrightarrow{b} + \\overrightarrow{b}^2 = 4\\overrightarrow{a}^2 - 6\\overrightarrow{a}\\cdot\\overrightarrow{b} + \\overrightarrow{b}^2$。

综上所述，2023年全国中学生数学奥林匹克贵州赛区预赛试题的答案涵盖了集合运算、三角函数、向量运算等多个数学领域，需要考生具备扎实的数学基础和灵活运用数学知识的能力。

答案如下，仅供参考！

2023年全国中学生数学奥林匹克贵州赛区预赛试题答案
解析与推导过程
1. 集合A={(x,y)|x+y=1}, B={(x,y)|x^2+y^2=2}，求集合C的子集个数。
2. 设集合R={(x,y)|x+y=1}, B={(x,y)|x^2+y^2=2}, C=A∩B,求集合C的子集个数。
3. 已知z为虚数，且z^2=z,则z^3=?
4. 已知b是单位向量，|3a+4b|=4a-3b,若|c|=2,则|a+b-c|的最大值是多少？
5. ABC的三边分别为a,b,c,记BC,CA,AB边上的中线长分别为m,m,m。求证三角形ABC是等腰三角形。