浙江大学自主招生数学试题及答案 2019

2019年浙江大学自主招生数学试题及答案涉及多个数学领域，包括三角函数、数列、概率统计等。具体来说，题目涵盖了三角函数的计算、数列的求和以及概率统计的应用。以下是对2019年浙江大学自主招生数学试题及答案的详细分析：

1. 三角函数的计算

- 题目一：已知 $\\cos \\theta$ 的值，求 $\\cos^2 \\theta$ 的值。

- 解析：根据余弦的二倍角公式，$\\cos^2 \\theta = \\frac{1}{2} + \\frac{1}{2}\\cos 2\\theta$。

2. 数列的求和

- 题目二：已知 $S_n$ 为数列的前 $n$ 项和，若 $|a_1 a_3| |a_2 a_4|$ 的平均数为最简分数 $q p$，其中 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 是数列中的项，则 $p q$ 的值为多少？。

- 解析：首先计算 $|a_1 a_3| |a_2 a_4|$ 的平均值，然后利用平均数的性质求解 $p$ 和 $q$。

3. 概率统计的应用

- 题目三：动圆过定点，且圆心到轴的距离为 $d$，则圆心的轨迹是（）。

- 解析：根据圆的几何性质，如果动圆过定点且圆心到轴的距离为 $d$，那么圆心的轨迹可能是椭圆、双曲线或抛物线之一。

4. 数列求和问题

- 题目四：一枚质地均匀的硬币，扔硬币10次，正面朝上的概率是多少？。

- 解析：使用古典概率模型，计算正面朝上的概率。

5. 三角函数的变换

- 题目五：设 $z_1 \\cos \\alpha \\sin \\beta$, $z_2 \\cos \\alpha \\sin \\beta$, 则 $(cos \\alpha)^2 (sin \\alpha)^2 (cos \\alpha)^2 (sin \\alpha)^2 2 3$ 整理可得：3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3 2(cos sin) 3

什么是自主招生？什么样的人适合自主招生？

自主招生又称自主选拔，是高校选拔录取工作改革的一个重要环节。教育部从2003年开始在一些高校进行自主招生试点。其初衷是对现行统一高考招生录取的一种补充，主要选拔具有学科特长和创新潜质的优秀学生，也就是所谓的“偏才怪才”。但是自主招生演变到今天，人们的关注点已经不再是其初衷了。

我认为作为考生和家长，对自主招生只要理解下面这段话就可以了：

符合一定条件的考生在高考前可以报名申请某些学校（全国共90所）的自主招生，经过材料初审合格后，可以在高考后参加该校的一项自主招生考核，考核通过的考生在填报该校志愿时候享受一定幅度的降分录取优惠。

如果再精简总结，自主招生只需知道五个要点：

1.考生符合一定条件

2.哪些高校能自主招生

3.申请材料初审合格

4.高考后参加自主招生考试

5.通过的考生享受降分优惠

那么什么样的人适合自主招生呢？更具体地说，什么层次的学生才能参加自主招生？首先我们需要破除一个错误观念：只有学习特别优秀的学生才适合参加自主招生。这是错误的。为什么？

我们说，如果仅从学习成绩讲，一本线以上所有层次的学生都可以关注和参与自主招生。因为自己观察就会注意到，90所自主招生试点高校本身就是不同层次，既有清华北大这样顶尖层次的大学，也有提档线就在一本线附近的大学。通过考生报名初选过程会自然分出自层次来，使得不同层次的学生不会交叉竞争。特别是考生无需过分惧怕在考试中遇到强手。

举例1，一本线附近层次的学生绝对不会去主动参加清华北大的自主招生。且不说他们自主招生考试通不过，即便能通过考试，他们不过是拿到了几十分的降分录取优惠。可是如果他们的高考成绩就在一本线附近，加上自主招生优惠分数也还远远达不到清华北大的提档线。

举例2，清华北大层次的学生也绝对不会主动去参加一本线附近高校的自主招生。因为他们凭自己的实力，无需自主招生的降分优惠，仅仅凭自己的裸分实力就能考上一本线附近的学校。

因此自主招生通过报名初审过程会使得考生自然分层次。所有考生都和与自己学习层次大致相当的考生竞争。

那么照此说，是不是一本线以上的所有考生都应当报名参加自主招生呢？其实也不尽然。一本线以上的学生需要考虑，自主招生要突出考核“学科专长、创新潜质”，你适合吗？

按理说，考生是否具备“学科专长、创新潜质”，应当让相关高校进行考核确定。但是由于自主招生报名人数太多，高校要在考试之前根据考生提交的申请材料先进行一次初审。只有初审合格的考生才有资格参加自主招生考试。 高校初审材料根据什么确定考生具备“学科专长、创新潜质”？目前根据各个高校的自主招生报名条件看，考生获得的竞赛获奖证书将起到敲门砖的作用。如果你不具备获奖证书，那么就一定要以其他可以想象的方式证明你具备“学科专长、创新潜质”。

这样就清楚了。打算参加自主招生的考生，应当尽早有意识地参加相关的学科竞赛和创新活动，获取证书。奖项、证书是自主招生的“敲门砖”。

2019年浙江大学自主招生数学试题及答案
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