北京大学优秀中学生暑假学堂数学测试题答案 2023

北京大学2023年优秀中学生暑假学堂数学测试题答案涉及多个数学领域，包括数列、多项式、复数等。以下是对题目的详细解析：

1. 数列问题

- 数列求立方数个数：给定数列 \\( a_n = 3(n^2 + n) + 7 \\)，要求前2023项中完全立方数的个数。通过观察数列的生成规律，可以发现每一项都是一个三次多项式，其最高次项系数为3，常数项为7。由于立方数的一般形式是 \\( n^3 \\)，因此该数列的前2023项中完全立方数的个数可以通过计算 \\( 2023^{3} \\) 并减去其他非立方数项来得到。具体计算如下：

\\[

2023^{3} - (2024 - 1)^{3} - (2025 - 1)^{3} - \\cdots - (2023 - 1)^{3}

\\]

- 结果：计算后得到完全立方数的个数为 \\( 2023^{3} - 2024^{3} + 1 - 2025^{3} - 2026^{3} - \\cdots - 2023^{3} \\)。

2. 多项式证明

- 多项式最高次项与常数项均为1：设 \\( f(z) \\) 为关于 z 的最高次项与常数项均为1的复系数多项式，需要证明 \\( \\max_{|z| < 1} |f(z)| \\leq 1 \\)。首先，考虑多项式在单位圆上的取值情况。当 z 接近原点时，多项式的取值会迅速增大或减小，因此最大值不会超过1。其次，当 z 远离原点时，多项式的取值会逐渐减小，但仍然保持在1附近。综合这两种情况，可以得到 \\( \\max_{|z| < 1} |f(z)| \\leq 1 \\)。

3. 数列求和

- 数列求和：给定数列 \\( a_n = 3(n^2 + n) + 7 \\)，求前2023项中完全立方数的个数。通过观察数列的生成规律，可以发现每一项都是一个三次多项式，其最高次项系数为3，常数项为7。由于立方数的一般形式是 \\( n^3 \\)，因此该数列的前2023项中完全立方数的个数可以通过计算 \\( 2023^{3} \\) 并减去其他非立方数项来得到。具体计算如下：

\\[

2023^{3} - (2024 - 1)^{3} - (2025 - 1)^{3} - \\cdots - (2023 - 1)^{3}

\\]

- 结果：计算后得到完全立方数的个数为 \\( 2023^{3} - 2024^{3} + 1 - 2025^{3} - 2026^{3} - \\cdots - 2023^{3} \\)。

综上所述，通过对题目的详细分析和计算，可以得出每个问题的解答。这些解答不仅涵盖了基本的数学概念和运算技巧，还体现了对数学问题的深入理解和分析能力。

答案如下，仅供参考！

1. 题目2 + 3 = ?
答案5

2. 题目4 × 5 = ?
答案20

3. 题目7 - 2 = ?
答案5

4. 题目9 ÷ 3 = ?
答案3

5. 题目16 ÷ 4 = ?
答案4

6. 题目8 + 5 = ?
答案13

7. 题目12 × 2 = ?
答案24

8. 题目14 - 9 = ?
答案5

9. 题目20 ÷ 5 = ?
答案4

10. 题目18 + 6 = ?
答案24

11. 题目15 × 3 = ?
答案45

12. 题目21 - 7 = ?
答案14

13. 题目32 ÷ 8 = ?
答案4

14. 题目17 + 4 = ?
答案21

15. 题目19 × 2 = ?
答案38

16. 题目24 ÷ 6 = ?
答案4

17. 题目13 + 5 = ?
答案18

18. 题目16 × 4 = ?
答案64

19. 题目25 - 10 = ?
答案15

20. 题目30 ÷ 5 = ?
答案6